RUM Principia: Simulando el futuro
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Leer más11-08-2021 | Publicado por Joaquín Martí
Las simulaciones dinámicas por elementos finitos pueden llevarse a cabo integrando las ecuaciones del movimiento explícita o implícitamente. Ambos esquemas tienen sus ventajas e inconvenientes.
En la integración implícita, en cada paso de integración se debe resolver un sistema acoplado de ecuaciones que involucra los valores actuales y futuros de las variables. Eso es trabajoso de programar y costoso de resolver; al tratarse de muchas ecuaciones acopladas, generalmente hay que invertir matrices o iterar para converger a la solución. A cambio, esta integración temporal puede ser incondicionalmente estable, lo que permite avanzar en pasos largos de tiempo.
La integración explícita expresa los valores futuros de las variables como una función explícita de los actuales. Esto es lógicamente más fácil de programar y resulta muy rápido avanzar un incremento de tiempo, pero requiere que ese incremento sea suficientemente pequeño para que la integración sea estable. Decimos que la integración es condicionalmente estable; concretamente el incremento debe satisfacer la condición de Courant–Friedrichs–Lewy (CFL), que esencialmente lo limita al período propio más pequeño del sistema.
Este último está relacionado con el tiempo más corto que emplea una onda para viajar entre dos nodos contiguos de la malla. Y es una limitación que resulta casi intuitiva: si queremos desacoplar los nodos, el incremento de tiempo debe ser tan corto que no les permite comunicarse entre sí. Eso es lo que físicamente desacopla sus ecuaciones durante el incremento.
Es fácil verificar, incluso a mano, que las oscilaciones de un sistema de un grado de libertad aumentan su amplitud y cambian su signo a cada incremento de tiempo si no se satisface la condición de CFL. Y el amortiguamiento no ayuda, puede incluso empeorar la situación por la rigidización dinámica que conlleva.
En principio, lo anterior conduce a dos alternativas para resolver un problema dinámico: un esquema implícito, que abarcaría el intervalo de interés con un número reducido de incrementos de tiempo complejos, o uno explícito, que lo haría con un elevado número de incrementos sencillos.
Las opciones lógicamente se restringen si la precisión requerida ya obliga a una integración explícita o si la integración explícita entraña un número desmesurado de incrementos de tiempo para abarcar la duración del problema.
Es claro que la integración explícita resulta especialmente atractiva para problemas cortos de dinámica rápida, tales como impactos, choques y explosiones. También es aconsejable para algunos problemas fuertemente no lineales, como aquéllos en que se desarrollan contactos frecuentes entre estructuras o partes una misma estructura; a los métodos implícitos no les resulta fácil lograr la convergencia en ese tipo de problemas.
Incluso en algunos problemas cuasi-estáticos en que la convergencia es difícil para los métodos implícitos, puede ser más práctico optar por una solución explícita y, si el número de pasos de integración resulta excesivo, aumentar artificialmente la densidad para reducir la velocidad de onda, alargar el intervalo de integración y reducir el tiempo de solución. Para que esta estrategia sea válida el problema debe seguir siendo cuasi-estático y se deben introducir correcciones adecuadas si el cambio de escalas de tiempo afecta al comportamiento constitutivo (ej. viscoelasticidad).